Definition

Eine Gleichung, in der die erste oder eine höhere Ableitung einer Funktion vorkommt, heißt Differenzialgleichung.
Es kann zusätzlich auch die Funktion $f(x)$ selbst vorkommen.
z.B. $f^{\prime }(x)=f(x)$

Gesucht ist immer eine Funktion, die die Differenzialgleichung erfüllt, hier: $f(x)=e^x$

Die momentane Änderungsrate ($f^{\prime }(t)$) ist proportional zum aktuellen Bestand $f(t)$

Begrenztes Wachstum

$f(t)=S+(f(t)-s)e^{-kt}$
$f^{\prime }(t)=k\ast (S-f(t))$

Die momentane Änderungsrate $f^{\prime }(t)$ ist proportional zur Differenz aus Sättigungsgrenze $S$ und dem aktuellen Bestand $f(t)$

Logistisches Wachstum

$f(t)=\frac{S}{1+(\frac{S}{f(0)}-1)\ast e^{-k\ast S\ast t}}$
$f^{\prime }(t)=k\ast f(t)\ast (S-f(t))$

Die momentane Änderungsrate $f^{\prime }(t)$ ist proportional zum Produkt aus dem Bestand $f(t)$ und der Differenz das der Sättigungsgrenze und dem aktuellen Bestand $f(t)$.