$\sigma$-Umgebung

Führt man einen Bernoulli-Versuch häufig durch (großes n), dann sinken die Wahrscheinlichkeiten für einzelne Werte der Zufallsgröße X stark ab.
Man betrachtet dasher bevorzugt Intervallwahrscheinlichkeiten.

Definition

Unter einer Umgebung um den Erwartungswert $\mu$ versteht man Intervalle der Form $u-r\le x<=\mu +r$.
Den Radius $r$ der Umgebung drückt man in der Regel in Vielfachen der Standartabweichung $\sigma$ aus.

Die Sigma Regeln

Fazit

Die Wahrscheinlichkeiten der $1\sigma$, $2\sigma$ und $3\sigma$-Umgebungen sind weitgehend unabhängig von der zugrundeliegenden Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ (und der Stufenzahl $n$).

Wenn für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ die sogenannte Laplace-Bedingung ($\sigma >3$) erfüllt ist, so gilt näherungsweise:

B:S. 334 Nr. 4,8

4)

binomialverteilt mit $n=400$ und $p=0,5$
$\mu =n\ast p=400\ast 0,5=200$

$\sigma =\sqrt{n\ast p\ast q}=\sqrt{400\ast 0,5\ast 0,5}=10(>3)$, Laplace-Bedingung erfüllt

90%-Umgebung, also $1,64\sigma$
$1,64\ast \sigma -1,64\ast 10\approx 16$
$P(\mu -1,64\sigma \le x\le \mu +1,64\sigma )=0,9$
$P(184\le x\le 216)=0,9$ → c)

8)

binomialverteilte Zufallsgröße mit $n=100$, $p=38\mathrm{\%}$
$\mu =n\ast p=100\ast 0,38=38$
$\sigma =\sqrt{n\ast p\ast q}=\sqrt{100\ast 0,38\ast (1-0,38)}\approx 4,9$
(<3 → Laplace-Bedingung erfüllt)

$90\mathrm{\%}$ Umgebung, also $r=1,64\sigma =1,64\ast 4,9\approx 8$
$P(\mu -1,64\sigma \le x\le \mu +1,64\sigma )$
$P(30\le x\le 44)$