Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

f (x) = x^{2}

\int_{0}^{b} x^{2} d x = F (b) = \frac{b^{3}}{3}

\int_{a}^{b} x^{2} d x = F (b) - F (a) = \frac{b^{3}}{3} - \frac{a^{3}}{3}

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

#important
Ist $F$ eine Stammfunktion von einer Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ , so gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \underset{hierfür schreibt man auch [F (x)]_{a}^{b}}{\underset{⏟}{F (b) - F (a)}}

Beispiel

Bestimme $\int_{2}^{4} f (x) d x m i t f (x) = 6 x^{2} - 2 x + 3$

$F (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$
$\int_{2}^{4} f (x) d x = F (4) - F (2) = (2 * 4^{3} - 4^{2} + 3 * 4) - (2 * 2^{3} - 2^{2} + 3 * 2)$
$= (128 - 16 + 12) - (16 - 4 + 6) = 124 - 18 = 106$