Volumen eines Rotationskörpers

Rotiert die Fläche unter dem Graphen einer Funktion $f$ über dem Intervall $[a; b]$ um die x-Achse, dann gilt für das Volumen $V$ des entstandenen Rotationskörpers:

V = π * \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x

4a)

$π \int_{0}^{2} (x - 1)^{2} d x \approx 2, 0944$
Form:

Sanduhrförmig

b)

$π \int_{1}^{2} {(\frac{1}{x})}^{2} d x \approx 1, 5708$
Form:

Nach oben schmaler werdend
Baumstammförmig

c)

$π \int_{- 1}^{1} (\sqrt{2 x + 2})^{2} d x \approx 12, 5664$
Form:

Nach oben breiter werdend
Schüsselförmig

5)

Nullstellen:
$\sqrt{16 - x^{2}} = 0$
CAS (solve): $x = \pm 4$

$π * \int_{- 4}^{4} (\sqrt{16 - x^{2}})^{2} d x \approx 268, 08$

6)

Eine Fläche, die direkt an der x-Achse rotiert, erzeugt eine kleinere Fläche, als eine gleich große Fläche, die weiter von die weiter entfernt von der x-Achse rotiert.

11)

$d = \frac{u}{\pi} = \frac{54cm}{\pi} \approx 17,189cm$

$f (x) = a x^{2} + b x + c$
Bedingungen:

| \begin{matrix} f (0) = \frac{17, 189}{2} \\ f (- 26) = 0 \\ f (26) = 0 \end{matrix} | \to | \begin{matrix} c = \frac{17, 189}{2} \\ a * (- 26)^{2} * b * (- 26) * c = 0 \\ a * (26)^{2} * b * (26) * c = 0 \end{matrix} |

CAS (solve): $a \approx - 0, 01271, b = 0, c = \frac{17, 189}{2}$
$f (x) = - 0, 01271 x^{2} + \frac{17, 189}{2}$

π \int_{- 26}^{26} (f (x))^{2} d x \approx 6.436, 61

$6.436, 61 m^{3} \approx 6, 436 L$

A: Es passen ca. 6,437L Luft in den Football.