(Koordinatenform/Koordinatenform)

Mögliche Lagebeziehungen

parallel
identisch
schneiden sich

Überprüfung

Auf Kolinearität prüfen (sind die Normalenvektoren Vielfache?)
im Taschenrechner $\frac{\vec{n_{1}}}{\vec{n_{2}}}$ (false → nicht kollinear)
- nicht kollinear → Schneiden sich → Schnittgerade bestimmen
- kollinear → Parallel oder identisch → Äquivalente Gleichung ( $k * E_{1} = E_{2}$ )?
  - ja → identisch
  - nein → paralell

Bestimmen der Schnittgeraden

false, z.B. $3 = 5$
Abhängigkeit von einem Parameter → Schnittgerade
Abhängigkeit von zwei Parametern → identisch

Aufgaben

$E_{1} : 3 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = 4$
$E_{2} : - 2 x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} = 7$
$E_{3} : - 9 x_{1} + 6 x_{2} - 3 x_{3} = - 12$
$E_{4} : 12 x_{1} - 8 x_{2} + 4 x_{3} = - 20$

$E_{1} ∥ E_{4}$ $E_{3} ∥ E_{4}$
$E_{1} \equiv E_{3}$
$E_{1} ∦ E_{2}$ $E_{1} ∦ E_{3}$ $E_{1} ∦ E_{3}$

(Parameterform/Koordinatenform)

$E_{1} : 2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 4$
$E_{2} : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + r * (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix}) + s * (\begin{matrix} 6 \\ - 5 \\ 2 \end{matrix})$
$E_{2} : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 - 2 r + 6 s \\ 2 + 3 r - 5 s \\ 2 + 2 r + 2 s \end{matrix})$

$E_{2}$ in $E_{1}$ einsetzen:
$E_{1} : 2 * (- 1 - 2 r + 6 s) + 2 * (2 + 3 r - 5 s) - (2 + 2 r + 2 s) = 4$
$E_{1} : - 2 - 4 r + 12 s + 4 + 6 r - 10 s - 2 - 2 r - 2 s = 4$
$E_{1} : 0 + 0 r + 0 s = 4$
$E_{1} : 0 = 4$ → falsche Aussage → $E_{1} ∦ E_{2}$

(Parameterform/Parameterform)

$E : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + r * (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + s * (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix})$
$F : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + t * (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}) + u * (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ - 3 \end{matrix})$

$| \begin{matrix} E \\ F \end{matrix} |$
CAS(solve):
$r = 0$
$s = c + 1$
$t = c$
$u = 1$
Eine Konstante → Schnittgerade

$r$ und $s$ in $E$ einsetzen → ein Parameter kürzt sich raus