Man berechnet den Schnittwinkel $\phi$ zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}$ und einer Ebene mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus $\sin \phi =\frac{|\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{v}|\ast |\overrightarrow{n}|}$ und $0˚\le \phi \le 90˚$.

Aufgaben

S. 239

9a)

Richtungsvektor der Ebene: $\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 6\end{array}\right)$
Richtungsvektor des Mastes: $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

CAS:

b)

Punkt an der Spize des Mastes: $F(2|-3|6)$
Gerade der Sonnenstrahlen durch die Spize des Mastes:
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -5\end{array}\right)$

Schnittpunkt von E und g:
$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-4r\\ -3+6r\\ 6-5r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$

Einsetzen in Ebenengleichung
$3(2-4r)+4(-3+6r)+6(6-5r)=12$
Solve for r: $r=1$

Einsetzen in die Geradengleichung:
$\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$

Punkt des Schattenendes:
$S(-2|3|1)$

Vektor $\overrightarrow{FS}$:
$\overrightarrow{FS}=\overrightarrow{S}-\overrightarrow{F}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -2\end{array}\right)$

Länge von $\overrightarrow{FS}$:
$\sqrt{(-4{)}^2+6^2+(-2{)}^2}=\sqrt{16+36+4}=\sqrt{56}\approx 7,48$

Winkel zwischen Sonnenstrahlen und Ebene
$\beta ={\sin }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{n}\ast \overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{n}|\ast |\overrightarrow{u}|}\right)={\sin }^{-1}\left(\frac{\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 6\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -5\end{array}\right)}{|\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 6\end{array}\right)|\ast |\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -5\end{array}\right)|}\right)\approx -15,23˚$
$|\beta |=15,23˚$

A: Der Schatten ist 7,48m lang und der Einfallwinkel der Sonnenstrahlen beträgt 15,23˚.

c)

Vektor $\overrightarrow{FR}=\overrightarrow{R}-\overrightarrow{F}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2,5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -0,5\end{array}\right)$

Länge von $\overrightarrow{FR}$:
$\sqrt{(-3{)}^2+3^2+(-0,5{)}^2}=\sqrt{9+9+0,25}=\sqrt{18,25}\approx 4,27$

Winkel zwischen Schatten (zwischen $\overrightarrow{FS}$ und $\overrightarrow{FR}$)
$\gamma ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{FS}\ast \overrightarrow{FR}}{|\overrightarrow{FS}|\ast |\overrightarrow{FR}|}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -2\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -0,5\end{array}\right)}{|\left(\begin{array}{c}-4\\ 6\\ -2\end{array}\right)|\ast |\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -0,5\end{array}\right)|}\right)=14,14˚$

A: Der neue Schatten ist 4,27 m lang. Der Winkel zwischen den Schatten ist 14,14˚