Pascal'sches Dreieck

 |              1
 |             1 1
 |            1 2 1
 |           1 3 3 1
 |          1 4 6 4 1
 |        1 5 10 10 5 1
\ /      1 6 15 20 15 6 1
n Stufen
(Anzahl
Schritte)

Aus dem Pascalschen Dreeck kann man unmittelbar ablesen wie viele Pfade zum Ereignis k-Erfolge bei n-Versuchen gehören (Voraussetzung: Erfolg/Misserfolg)

--- start-multi-column: ID_s36f

Number of Columns: 2
Largest Column: standard

[[]]

\begin{array}{ccccccc} (\binom{0}{0}) \\ (\binom{1}{0}) & (\binom{1}{1}) \\ (\binom{2}{0}) & (\binom{2}{1}) & (\binom{2}{2}) \\ (\binom{3}{0}) & (\binom{3}{1}) & (\binom{3}{2}) & (\binom{3}{3}) \end{array}

--- column-break ---

$(\binom{n}{k})$ → gesprochen "n über k"
Es gilt immer:
$(\binom{n}{0}) = 1$
$(\binom{n}{n}) = 1$
$(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})$

--- end-multi-column

(\binom{7}{3}) = \frac{7 * 6 * 5}{3 * 2 * 1}

Note

Für die Anzahl der Pfade bei k Erfolgen bei n Durchführungen gilt:
(Ziehen mit einem Griff, Reihenfolge spielt keine Rolle)

(\binom{n}{k}) = \frac{n * (n - 1) * (n - 2) * \dots * (k - (k - 1))}{k * (k - 1) * (k - 2) * \dots * 1} = \frac{n!}{k! * (n - k)!}

CAS: nCr(n,k)

Binomialansatz bei Zufallsgrößen

Ein Binomialansatz kann nur verwendet werden, wenn es eine kleine Stichprobe bei großer Gesammtmenge gibt.

Aufgaben

1)

1: $(\binom{35}{7}) = 6724520$
2: $(\binom{42}{6}) = 5245786$
3: $(\binom{39}{7}) = 15380937$
4: $(\binom{55}{5}) = 3478761$
5: $(\binom{30}{6}) = 593775$
6: $(\binom{36}{7}) = 8347680$
7: $(\binom{42}{5}) = 850668$
8: $(\binom{45}{6}) = 8145060$
9: $(\binom{90}{6}) = 622614630$

Pascal'sches Dreieck

Binomialansatz bei Zufallsgrößen

Aufgaben

1)

4)