Punkt - Ebene
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade (parallel)
Gerade - Gerade (windschief)

Lotfußverfahren

1. Abstand Punkt - Ebene

Lotgerade aufstellen durch $P$ zur Ebene $E$ (senkrecht)
also $g : \vec{x} = \vec{O P} + r * \vec{n}$
Lotfußpunkt L bestimmen, also Schnittpunkt von $g$ und $E$ .
(entweder Parameterform gleichsetzen oder Koordinaten von g zeilenweise in die Koordiantenform von $E$ einsetzen)
Abstand $P$ zu $L$ (entspricht $P$ zu $E$ )

2. Abstand Gerade - Ebene (parallel) und 3. Ebene - Ebene

Einen Punkt auf der Gerade oder Ebene wählen

4. Abstand Punkt - Gerade

Ansatz:
$\vec{R V_{g}}$ = Richtungsvektor der Geraden
$P$ = Gegebener Punkt
$L$ = Lotfußpunkt

$\vec{R V_{g}} * \vec{P L} = 0$
$\vec{R V_{g}} * (\vec{O L} - \vec{O P}) = 0$
$\underset{\vec{R V_{g}}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}} * (\underset{\vec{O L}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + t * (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})}} - \underset{\vec{O P}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 4 \end{matrix})}}) = 0$
$2 * (0 + 2 t - 4) + (- 1 + t - 1) = 0$
$4 t - 8 - 1 + t - 1 = 0$
$5 t - 10 = 0$
$t = 2$

$t$ in $g$ einsetzen:
$(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + 2 * (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$
$L = (4 | 1 | 1)$
$\vec{P L} = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})$
$| \vec{P L} | = \underset{―}{\underset{―}{3}}$

5. Abstand Gerade - Gerade (parallel)

Gerade 1: $g : \vec{x} = \vec{O A} + r * \vec{u}$
Gerade 2: $h : \vec{x} = \vec{O B} + s * \vec{v}$

Einen Punkt auf einer der Geraden aussuchen (am besten Stützvektor)
Abstand Punkt - Gerade berechnen (4.)

6. Abstand Gerade - Gerade (windschief)

Möglichkeit 1

Gerade 1: $g : \vec{x} = \vec{O A} + r * \vec{u}$
Gerade 2: $h : \vec{x} = \vec{O B} + s * \vec{v}$

Neuen Vektor $\vec{n}$ bestimmen, der zu beiden Richtungsvektoren paralell ist:

| \begin{matrix} \vec{n} * \vec{u} = 0 \\ \vec{n} * \vec{v} = 0 \end{matrix} |

auflösen nach $\vec{n}$

Neue Geradengleichung aufstellen mit $\vec{n}$ als Richtungsvektor und $\vec{x}$ aus $g$ als Stützvektor (z.B. Gerade 1):

l : \vec{x} = \underset{g als SV}{\underset{⏟}{(\vec{O A} + r * \vec{u})}} + t * \vec{n}

$l$ mit $h$ gleichsetzen:

l = h

(\vec{O A} + r * \vec{u}) + t * \vec{n} = \vec{O B} + s * \vec{v}

3 unbekannte ${r, t, s}$ → auflösen

$r$ und $s$ in Geradengleichungen einsetzen, um die beiden Lotfußpunkte zu erhalten

Möglichkeit 2

Ansatz: LGS:

| \begin{matrix} \vec{G H} * \vec{u} = 0 \\ \vec{G H} * \vec{v} = 0 \end{matrix} |

Mit $\vec{G H} = \vec{O H} - \vec{O G}$
Geradengleichung für $\vec{O H}$ und $\vec{O G}$ einsetzen
Einsetzen in LGS

Möglichkeit 3 (Hifsebenen)

Hilfebene aufstellen:

E : \vec{x} = \vec{O A} + r * \vec{R V_{g}} + s * \vec{R V_{h}}

Abstand Ebene - Punkt mit beliebigem Punkt auf der Geraden

Abstand mit Hilfsebenen Beispiel

Möglichkeit 4

g + t * ()

Aufgaben

Beispiel

$E : 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = 8$
$P (9 | - 9 | 4)$

Lotgerade aufstellen:
$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 9 \\ - 9 \\ 4 \end{matrix}) + r * (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})$

Lotfußpunkt bestimmen:
$2 * (9 + 2 r) - (- 9 - r) + 2 * (4 + 2 r) = 8$
$18 + 4 r + 9 + r + 8 + 4 r = 8$
$35 + 9 r = 8$
$9 r = 8 - 35$
$9 r = - 27$
$r = - 3$

einsetzen in $g$
$\vec{O Q} = (\begin{matrix} 9 \\ - 9 \\ 4 \end{matrix}) - 3 * (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ - 6 \\ - 2 \end{matrix})$

Abstand von $P$ und $Q$
$\vec{P Q} = \vec{O Q} - \vec{O P} = (\begin{matrix} 3 \\ - 6 \\ - 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 9 \\ - 9 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})$

$| \vec{P Q} | = \sqrt{(- 6)^{2} + 3^{2} + (- 4)^{2}} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$

Abstand windschiefe Graden Beispiel

$g : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) + r * (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})$
$h : \vec{x} = (\begin{matrix} - 7 \\ 1 \\ 6 \end{matrix}) + s * (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$

Vektor bestimmen, der zu beiden Richtungsvektoren paralllel ist

$\vec{R V_{1}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})$
$\vec{R V_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$

| \begin{matrix} \vec{n} * \vec{R V_{1}} = 0 \\ \vec{n} * \vec{R V_{2}} = 0 \end{matrix} |

| \begin{matrix} n_{1} * 2 + n_{2} * - 2 + n_{3} * 3 = 0 \\ n_{2} * 2 + n_{3} = 0 \end{matrix} |

Beliebige Zahl für $n_{1}$ einsetzen:
$n_{1} = 1$

CAS (solve):
$n_{2} = \frac{1}{4}$
$n_{3} = - \frac{1}{2}$

$\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix})$

Neue Geradengleichung mit $\vec{n}$ als RV und Gerade $g$ als SV

l : \vec{x} = ((\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) + r * (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})) + t (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix})

l = h

CAS (solve):
$r = 0, 53125$
$s = 1, 09375$
$t = - 7$

Mit den bestimmten Parametern $r$ und $s$ die entsprechenden Punkte auf den Geraden bestimmen
$G = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) + 0, 53125 * (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1, 0625 \\ 4, 9375 \\ 3, 59375 \end{matrix})$
$H = (\begin{matrix} - 7 \\ 1 \\ 6 \end{matrix}) + 1, 09375 * (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 7 \\ 3, 1875 \\ 7, 09375 \end{matrix})$

Abstand zwischen $G$ und $H$ berechen
$\vec{G H} = \vec{O H} - \vec{O G} = (\begin{matrix} - 8, 0625 \\ - 1, 75 \\ 3, 5 \end{matrix})$

$| \vec{G H} | = \sqrt{G H_{1}^{2} + G H_{2}^{2} + G H_{3}^{2}} = \sqrt{(- 8, 0625)^{2} + (- 1, 75)^{2} + 3, 5^{2}} = 8, 96194$

A: Die Geraden sind ca. 8,96194 LE voneinander entfernt.