Beweis

$u(x)$ und $v(x)$ sind differenzierbar.
Es gilt: $f(x)=u(x)\ast v(x)$

1. $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{u(x+h)\ast v(x+h)-u(x)\ast v(x)}{h}$

0 addieren:
2. $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{u(x+h)\ast v(x+h)-u(x)\ast v(x+h)+u(x)\ast v(x+h)-u(x)\ast v(x)}{h}$

ausklammern:
3. $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(u(x+h)-u(x))\ast v(x+h)+u(x)\ast (v(x+h)-v(x))}{h}$

Brüche trennen:
4. $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(u(x+h)-u(x))\ast v(x+h)}{h}+\underset{h\to 0}{lim}\frac{u(x)\ast (v(x+h)-v(x))}{h}$

Grenzwerte trennen:
5. $f^{\prime }(x)=\underset{u^{\prime }(x)}{\underbrace{\underset{h\to 0}{lim}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}}}\ast \underset{v(x)}{\underbrace{\underset{h\to 0}{lim}v(x+h)}}+\underset{u(x)}{\underbrace{\underset{h\to 0}{lim}u(x)}}\ast \underset{v^{\prime }(x)}{\underbrace{\underset{h\to 0}{lim}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}}}$

Beispiele

a)

$f(x)=(x^2+1)\ast \sin (x)$
$f^{\prime }(x)=(x^2+1)\ast \cos (x)+\sin (x)+2x$IsWW

b)

$f(x)=(3x+1)\ast (x^2-5x)$
FWI

c)

$f(x)=\frac{1}{x}\ast (e^x+x)$