a)

• M ist die Mitte der Strecke AB
• C muss über M liegen, also sich nur in der z-Koordinate unterscheiden
• Volumen über $\frac{1}{3}\ast G\ast h$ mit $G=|\overrightarrow{AB}|\ast \pi$

b)

• Vektoren berechnen
• Winkel über ${\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\ast |\overrightarrow{AC|}}\right)$

c)

• Vektor $\overrightarrow{PC}$ berechnen mit Stützvektor $\overrightarrow{0P}$ Spurpunkt bestimmen

d)

Gerade auf der der Scheinwerfer bewegt wird:
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 9\end{array}\right)+k\ast \left(\begin{array}{c}-5\\ 20\\ 0\end{array}\right)$

Gerade des Lichts:
$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 1\end{array}\right)+l\ast \left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 4\end{array}\right)$

Schnittpunkt der Geraden:
$\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 9\end{array}\right)+k\ast \left(\begin{array}{c}-5\\ 20\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ 1\end{array}\right)+l\ast \left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 4\end{array}\right)$
CAS (solve):
$k=\frac{1}{5}$
$l=2$

Einsetzen in eine der Gleichungen:
$\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 9\end{array}\right)+\frac{1}{5}\ast \left(\begin{array}{c}-5\\ 20\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 9\end{array}\right)$

A: Der Scheinwerfer muss sich an der Position S(6|4|9) befinden, damit der Schatten auf den Punkt R(0|12|1) fällt.

e)

Schattenpunkt, wenn der Scheinwerter bei P ist
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 9\end{array}\right)+k\ast \left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -4\end{array}\right)$
$S_{y,z}=\left(\begin{array}{c}0\\ x_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 0\\ 9\end{array}\right)+k\ast \left(\begin{array}{c}-4\\ 8\\ -4\end{array}\right)$
CAS (solve):
$k=\frac{7}{4}$
$x_1=14$
$x_2=2$
$S_1(0|14|2)$

Schattenpunkt, wenn der Scheinwerter bei Q ist
$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 20\\ 9\end{array}\right)+k\ast \left(\begin{array}{c}-1\\ 12\\ 4\end{array}\right)$
$S_{y,z}=\left(\begin{array}{c}0\\ x_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 20\\ 9\end{array}\right)+k\ast \left(\begin{array}{c}-1\\ 12\\ 4\end{array}\right)$
CAS (solve):
$k=2$
$x_1=44$
$x_2=17$
$S_2(0|44|17)$

Gerade durch $S_1$ und $S_2$
$i:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 14\\ 2\end{array}\right)+k\ast \left(\begin{array}{c}0\\ 30\\ 15\end{array}\right)$

f)

An der linken Wand, da $\frac{5}{3}<\frac{9}{4}$