Normalenform

$\overrightarrow{n}\ast (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p})=0$

$\overrightarrow{n}$ heißt Normalenvektor. Er ist orthogonal zu der Ebene liegt, also orthogonal zu allen Richtungsvektoren der Ebene ist.

Koordinatenform

Normalenform ausmultipliziert:
$\overrightarrow{n}\ast \overrightarrow{x}-\overrightarrow{n}\ast \overrightarrow{p}=0$
$\overrightarrow{n}\ast \overrightarrow{x}=\overrightarrow{n}\ast \overrightarrow{p}$
ausgerechnet mit $\overrightarrow{n}$ und $\overrightarrow{p}$ gegeben und mit $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$:
$1\ast x_1+2\ast x_2+3\ast x_3=10$

Parameterform in Normalenform umrechnen

Mit Kreuzprodukt

mit $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ als Richtungsvektoren
$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$
$\overrightarrow{p}$ als Stützvektor übernehmen

Ohne Kreuzprodukt

mit $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$

für einen der Parameter eine beliebige Zahl außer 0 einsetzten, da die Länge des Vektors beliebig ist:

Gleichung 1:
$2+n_2=0$
$n_2=-2$

Gleichung 2:
$-1+4+n_3=0$
$3+n_3=0$
$n_3=-3$

Normalenvektor $\overrightarrow{n}$:
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$

Normalenform in Parameterform umrechnen

Orthogonalen Vektor zu $\overrightarrow{n}$ bestimmen
$\overrightarrow{n}+\overrightarrow{u}=0$
wenn $\overrightarrow{n}$ nicht zwei mal 0 enthält und $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$:
$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-y\\ x\\ 0\end{array}\right)$

wenn $\overrightarrow{n}$ zwei 0 enthält, z.B. $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ z\end{array}\right)$:
$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ (in diesem Fall sind können $u_1$ und $u_2$ beliebig gewählt werden, es darf nur kein Nullvektor entstehen)

Zweiter Richtungsvektor:
$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{n}$

Stützvektor $\overrightarrow{p}$ übernehmen

Koordinatenform in Parameterform umrechnen

#todo

1. $x_1$ auf eine Seite bringen
2. $x_2$ und $x_3$ gleich $s$ und $t$ setzen
3. Parameterform aufstellen

Aufgaben

S. 213

1a)

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)\ast (\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right))$
$\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)\ast \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
$1\ast x_1-2\ast x_2-3\ast x_3=3$

S. 214

6a)

$2x_1+5x_2-x_3=4$
$2x_1=4–5x_2+x_3$
$x_1=2-\frac{5}{2}{x}_2+\frac{1}{2}{x}_3$
$x_2=s$
$x_3=t$

$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+s\ast \left(\begin{array}{c}-\frac{5}{2}\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\ast \left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

S. 213

2e)

• Punkt A als Stützvektor wählen
• Richtungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ ausrechnen
• Kreuzprodukt der Richtungsvektoren als Normalenvektor einsetzen

f)

• Punkt A als Stützvektor wählen
• Mit zufälligen k zwei Punkte $B$ und $C$ auf der Geraden bestimmen
• Richtungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ ausrechnen
• Kreuzprodukt der Richtungsvektoren als Normalenvektor einsetzen

g)

• Einen der beiden Stützvektoren wählen
• Kreuzprodukt der Richtungsvektoren als Normalenvektor einsetzen

3a)

Normalenform: $\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)\ast (\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 2\end{array}\right))$
Koordinatenform: $3x_1-x_2+2x_3=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{c}3\\ -5\\ 2\end{array}\right)=18$

1)

• Alle $x_1$/$x_2$/$x_3$ sind Vielfache voneinander
• $E_1$ und $E_3$ sind identisch, da der Betrag mit dem gleichen Faktor wie die Faktoren Vielfache ist

7a)

$\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)+(\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right))$
$\overrightarrow{p}\ast \overrightarrow{n}=-5$
$\overrightarrow{p}\ast \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)=-5$
$\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -9\end{array}\right)$

b)

$\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 5\end{array}\right)\ast (\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -5\end{array}\right))$