Möglichkeiten

1. Gerade ist parallel zur Ebene
2. Gerade schneidet die Ebene
3. Gerade liegt in der Ebene

Methoden zur Überprüfung

1. rechnerisch

Direkt auf Schnittpunkte überprüfen:
$g:\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_1+r{u}_1\\ a_2+r{u}_2\\ a_3+r{u}_3\end{array}\right)$

$E:n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d$

• Einsetzen der Terme für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ in die Koordinatenform:
• Auflösen nach $r$
• Ergebnisinterpretation
  • konkrete Lösung: z.B. $r=5$
    • Schnittpunkt mit $r=5$ in der Gerade
  • falsche Aussage: z.B. $2=3$
    • kein Schnittpunkt → parallel
  • wahre Aussage: z.B. $2=2$
    • Unendlich viele Schnittpunkte → Gerade in Ebene

2. "durch verstehen"

n-Vektor der Ebene und RV der Geraden senkrecht?
⟹ ja → Gerade paralell oder in der Ebene (Möglichkeit 1)
⟹ nein → Gerade schneidet Ebene in einem Punkt (Möglichkeit 2 oder 3)

wenn ja: liegt ein Punkt in der Ebene? Punktprobe mit Stützvektor.
⟹ ja → Gerade in der Ebene
⟹ nein → Gerade echt parallel (außerhalb der Ebene)

wenn nein: Schnittpunkt bestimmen (siehe Methode 1)

Aufgaben

S. 226 Nr. 1

1a)

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 4\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+3r\\ 1+r\\ 4+2r\end{array}\right)$

$(2+3r)+(1+r)-2(4+2r)=3$
$2+3r+1+r-8-4r=3$
$4r-4r=7$
$0\ne 7$ → Kein Schnittpunkt

b)

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$

$2(3+r)+3(2-r)-7\ast 1=11$
$6+2r+6-3r-7=11$
$-1r=11-5$
$-1r=6$
$r=-6$ → Ein Schnittpunkt

$r$ in die Geradengleichung einsetzen:
$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)-6\ast \left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 8\\ 1\end{array}\right)$

Die Gerade schneidet die Ebene bei $S(-3|8|1)$

c)

Geradengleichung in Ebene einsetzen:
$3r+2(1-2r)-(-1-r)=3$
$3r+1-4r+1+r=3$
$4r-4r=1$
$0\ne 1$ → Kein Schnittpunkt

d)

Geradengleichung aufstellen:
$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0A}+r\ast \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{0A}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0B}-\overrightarrow{0A}=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ -7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\end{array}\right)+r\ast \left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ -6\end{array}\right)$

Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen:
$x_1+2x_2-x_3=3$
$(3+3r)+2(-2+3r)-(-1-6r)=3$
$3+3r-4+6r+1+6r=3$
$15r+0=3$
$15r=3$
$r=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$ → Schnittpunkt

S. 228 Nr. 17

17a)

b)

Geradendarstellung des Schornsteins:

Ebene $E_1$ in die Koordinatenform bringen:

Schnittpunkt berechnen (g in $E_1$ einsetzen):
$3\ast 6+4\ast t=40$
$18+4r=40$
$4r=22$
$r=\frac{22}{4}=5,5$

In Geradengleichung einsetzen:

A: Der Schornstein schneidet die Ebene bei $S(-2|6|5,5)$.