1. Ableitungen

$f^{\prime }(x)=x\ast e^x+1\ast e^x=(x+1)e^x$
$f^{″}(x)=e^x+(x+1)\ast e^x=((x+1)+1)\ast e^x=(x+2)e^x$
$f^{‴}(x)=e^x+(x+2)\ast e^x=((x+2)+1)\ast e^x=(x+3)e^x$

2. Definitonsbereich

$D\in \mathbb{R}$

3. Symetrie

Prüfen auf Symetrie zur y-Achse

$f(x)=f(-x)$
CAS: $x\ast e^x=-x\ast e^x$ ⟹ false ⟹ keine Symetrie zur y-Achse

Prüfen auf Symetrie zum Ursprung

$-f(x) = f(-x) $
CAS: $-x\ast e^x=x\ast e^{-x}$ ⟹ false ⟹ keine Symetrie zum Ursprung

4. Schnittpunkte mit den Achsen

y-Achse

$f(0)=0$
Schnittpunkt mit y-Achse: $S(0|0)$

Nullstellen

$f(x)=0$
CAS (solve): $x=0$
Nullstellen: $x=0$

5. Extrempunkte

NK:
$f^{\prime }(x)=0$
CAS (solve): $x=-1$

HK:
$f^{″}(-1)\approx 0,37$
$0,37>0$ ⟹ Tiefpunkt

$f(-1)\approx -0.37$
$TP(-1|-0.37)$

6. Wendepunkte

NK:
$f^{″}(x)=0$
CAS (solve): $x=-2$

HK:
$f^{‴}(-2)\approx 0,14$
$0,37>0$ ⟹ Rechts-Links-Krümmung

$f(-2)\approx -0.27$
$WP(-2|-0.27)$

7. Globalverlauf

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$

8. Skizze